Περιττή συνάρτηση

 

Άσκηση 
Δίνεται η περιττή συνάρτηση f με πεδίο οριμού το [-α,α] η οποία είναι 1-1 και επί.
Να δειχθεί ότι :

1) Το πεδίο τιμών της f είναι συμμετρικό ως προς το μηδέν
2) Η αντίστροφη της f είναι περιττή
Λύση
1) Αν το x0 ανήκει στο διάστημα [-α,α] τότε και το -x0 ανήκει στο διάστημα [-α,α]

Το f(x0 ) ανήκει στο πεδίο τιμών της f καθώς και το f(-x0 )

Επειδή η f είναι περιττή έχω f(-x0 )=-f(x0 ) (Ι)

Όμως επειδή το f(-x0 ) ανήκει στο πεδίο τιμών της f δηλαδή στο f([-α,α])

λόγω της (Ι) και το -f(x0 ) ανήκει στο f([-α,α])
Επομένως για κάθε x0 που ανήκει στο διάστημα [-α,α] το f(x0 ) ανήκει στο f([-α,α]) 

Από τα παραπάνω συμπεραίνω ότι το πεδίο τιμών της f είναι συμμετρικό ως προς το μηδέν
2) Η f είναι 1-1 και επί επομένως ορίζεται η αντίστροφή της f-1
Aν y0 ανήκει στο πεδίο ορισμού της f-1 αρκεί να δείξω ότι f-1(y0)=- f-1(-y0) για κάθε y0 
που ανήκει στο πεδίο ορισμού της f-1 . To y0 ανήκει στο πεδίο τιμών της f

Έστω ότι για τυχαίο x0 που ανήκει στο [-α,α] το f(x0)=y0 ->f-1(y0)=x0 (Ι)

Aπό την υπόθεση γνωρίζω πως η f είναι περιττή

Επομένως f(x0)=-f(-x0)->y0=-f(-x0)->(-x0)=-y0->-x0=f-1(-y0)->x0=-f-1(-y0) (ΙΙ)

Επομένως η αντίστροφη της f είναι περιττή για κάθε y που ανήκει στο πεδίο
ορισμού της

 

Advertisements

Δημοσιεύθηκε από

stellaseremetaki

Mathematician Μαθηματικός ΠΕ03

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

w

Σύνδεση με %s