Παραμετρικό σύστημα

Δίνεται το παρακάτω παραμετρικό σύστημα 2x2
(λ-1)x+y=0 
 x+(λ-1)y=0 
Να λυθεί για τις διάφορες πραγματικές τιμές του λ
Λύση
Υπολογίζω την ορίζουσα D
D=(λ-1)2-1 = (λ-1-1)(λ-1+1)=(λ-2)λ
Περιπτώσεις
Αν D διάφορο του μηδενός δηλαδή για λ διάφορο του 0 και του 2 , έχω μοναδική λύση
x=Dx / D , y=Dy / D
Υπολογίζω τις υποορίζουσες Dx , Dy
Dx= 0 και Dy=0επομένως x=0 και y=o
Eάν D=0 τότε έχω D=λ(λ-2)=0 -> λ=0 ή λ=2

Για  λ=0 το αρχικό σύστημα γίνεται
-x+y=0  (1)
x- y=0  (2)
Oι σχέσεις (1) και (2) είναι ισοδύναμες με την εξίσωση x-y=0
Λύνω τη παραπάνω εξίσωση ως προς x και έχω x=y όπου το y παίρνει τιμές σε όλο το R
Aυτό σημαίνει ότι για λ=0 το αρχικό σύστημα έχει άπειρες λύσεις της μορφής  x=y όπου το y παίρνει τιμές σε όλο το R

Για λ=2 το αρχικό σύστημα γίνεται
x+y=0   (3)
x+y=0  (4)

Oι σχέσεις (3) και (4) είναι ισοδύναμες με την εξίσωση x+y=0
Λύνω τη παραπάνω εξίσωση ως προς x και έχω x=-y όπου το y παίρνει τιμές σε όλο το R
Aυτό σημαίνει ότι για λ=2 το αρχικό σύστημα έχει άπειρες λύσεις της μορφής  x=-y 
όπου το y παίρνει τιμές σε όλο το R
Συνοψίζω
Για D διάφορο του μηδενός δηλαδή για λ διάφορο του 0 και του 2 η λύση του συστήματος 
είναι η μηδενική
Για D=0 δηλαδή για λ=0 ή λ=2  το αρχικό σύστημα έχει άπειρες λύσεις
Συγκεκριμένα
Για λ=0 το αρχικό σύστημα έχει άπειρες λύσεις της μορφής  x=y όπου το y παίρνει τιμές σε όλο το R
Για λ=2 το αρχικό σύστημα έχει άπειρες λύσεις της μορφής  x=-y όπου το y παίρνει τιμές σε όλο το R

 

 

Advertisements

Δημοσιεύθηκε από

stellaseremetaki

Mathematician Μαθηματικός ΠΕ03

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Σύνδεση με %s