Διαγώνισμα Γυμνάσιο

Τριγωνομετρικοί αριθμοί ορθογωνίου τριγώνου (Β΄&Γ΄ Γυμνασίου)
 
Άσκηση

Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με A=900 , ΒΓ=5cm και ημΒ=4/5
1) Να υπολογίσετε τις πλευρές του τριγώνου 
2) Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των οξειών γωνιών του τριγώνου
 
Λύση
Λίγα λόγια για το 1ο μέρος της άσκησης

Από τον ορισμό του ημιτόνου έχω
ημίτονο=(απέναντι κάθετη πλευρά) / υποτείνουσα

Εφόσον γνωρίζουμε το ημίτονο και την υποτείνουσα μπορούμε να υπολογίσουμε την 
απέναντι κάθετη πλευρά. 
Παρατηρώ ότι οι τριγωνομετρικοί αριθμοί χρησιμεύουν στον
υπολογισμό άγνωστων πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου

Για τη γωνία Β έχω  ημΒ=ΑΓ/ΒΓ   (1)
Από την υπόθεση     ημΒ=4/5 και ΒΓ=5

Επομένως η σχέση  (1) γίνεται 4/5 = ΑΓ/5
Πολλαπλασιάζω χιαστί και έχω 4.5=ΑΓ.5<->ΑΓ=4cm

Από το Πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ έχω
ΒΓ2=ΑΒ2+ΑΓ2 <->52 =ΑΒ2+42<->25=ΑΒ2+16<->25-16=ΑΒ2
ΑΒ2=9<->ΑΒ=9<->ΑΒ=3cm

Λίγα λόγια για το 2ο μέρος της άσκησης:

Εφόσον στο πρώτο ερώτημα υπολογίσαμε τις πλευρές του ορθογωνίου τριγώνου,
μπορούμε εύκολα να υπολογίσουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των οξειών 
γωνιών του χρησιμοποιώντας τους ορισμούς 

συνημίτονο = προσκείμενη κάθετη πλευρά / υποτείνουσα
εφαπτομένη =απέναντι κάθετη πλευρά / προσκείμενη κάθετη πλευρά

Υπολογίζω το συνημήτονο και την εφαπτομένη της γωνίας Β
συνΒ=ΑΒ/ΒΓ = 3/5
εφ Β =ΑΓ/ΑΒ = 4/3

Υπολογίζω το ημίτονο,το συνημίτονο και την εφαπτομένη της γωνίας Γ
ημ Γ= ΑΒ/ΒΓ = 3/5
συν Γ=ΑΓ/ΒΓ = 4/5
εφ Γ= ΑΒ/ΑΓ = 3/4
Ανισώσεις (Β΄& Γ΄ Γυμνασίου)
 
Άσκηση(Παραμετρική ανίσωση)
Ποιές τιμές μπορεί να πάρει ο αριθμός α ώστε η ανίσωση 2x-3α+1>α(x-1) να έχει λύση τον
αριθμό x=2

Λύση
Ο αριθμός x=2 αποτελεί λύση της ανίσωσης 2x-3α+1 > α(x-1) (i)
Aυτό σημαίνει ότι επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση (i)

Επομένως έχω  2.2-3α+1 > α(2-1) <-> 4-3α+1>α <-> -3α-α > -5 <-> 
-4α > -5 <->4α < 5 <->α< 5/4
Άρα για να έχει η παραπάνω ανίσωση λύση τη τιμή x=2 πρέπει το α < 5/4
 
Πόβλημα που λύνεται με ανίσωση (Β΄& Γ΄ Γυμνασίου)

Άσκηση
Ένας μαθητής έγραψε δύο διαγωνίσματα στο μάθημα των μαθηματικών με βαθμό
12 και 14 αντίστοιχα.Τί βαθμό πρέπει να γράψει στο επόμενο διαγώνισμα ώστε να
έχει μέσο όρο πάνω από 14

Λύση
Έστω x o βαθμός που πρέπει να γράψει ο μαθητής ώστε να έχει μέσο όρο στα μαθηματικά 
πάνω από 14. Ο μέσος όρος είναι (12 +14 +x ) / 3

Θέλω (12 +14 +x ) / 3 > 14 -> (26 + x ) / 3 > 14 -> (26 + x )> 42 -> x > 42-26-> x > 16

Επομένως ο μαθητής πρέπει να γράψει πάνω από 16 για να έχει μέσο όρο στο μάθημα των 
μαθηματικών πάνω από 14
Επίλυση τύπων (Β΄ Γυμνασίου)
 
Άσκηση
Να λυθεί ο παρακάτω τύπος S=α / (1-λ) ως προς λ

Λύση 
Tοποθετώ τη μονάδα στο παρονομαστή του πρώτου μέλους της παραπάνω ισότητας 
S / 1 = α / (1-λ) Ο άγνωστος στην παραπάνω εξίσωση είναι ο λ , επομένως πρόκειται
για μια εξίσωση 1ου βαθμού με άγνωστο τον λ

1) πολλαπλασιάζω χιαστί  S . (1-λ)=α .1

2) εκτελώ επιμεριστικά τις πράξεις  S -Sλ=α

3) χωρίζω γνωστούς από αγνώστους  -Sλ=α - S

4) αλλάζω τα πρόσημα και στα δύο μέλη της ισότητας  Sλ=-α + S

5) διαιρώ και τα δύο μέλη της ισότητας με το S για να λύσω ως προς λ
Sλ / S = (-α + S) / S<-> λ = (-α + S) / S <-> λ = (S-α) / S άρα λ = (S-α) / S
Σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους x και y 

Άσκηση
Να λυθεί το σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους x και y
2x+6y=22 (1)
 x+y = 5   (2)

Λύση
Πολλαπλασιάζω τη (2) με το -2 για να εξαλείψω το x
2x+6y=22   (1)
-2x-2y=-10  (2)΄

Προσθέτω τις παραπάνω σχέσεις κατά μέλη και έχω
0.x+4y=12 <-> 4y=12 <-> y= 12/4  <-> y=3

Για y=3 η σχέση (2) γίνεται x+3=5 <-> x=5-3 <-> x=2
Άρα η λύση του συστήματος είναι x=2 και y=3

Προτεραιότητα των πράξεων  (Β΄ Γυμνασίου)

 Άσκηση
Να υπολογισθεί η παράσταση Α=2(3-5)+(6/2)(3-2)

Λύση
Εφαρμόζω πρώτα τις πράξεις μέσα στις παρενθέσεις Α=2.(-2)+(6/2)
Εφαρμόζω το πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση, επομένως έχω  Α=-4+3
Εφαρμόζω τη πράξη της πρόσθεσης μεταξύ ακεραίων, επομένως Α=-1
(ΕΚΠ) Α΄ Γυμνασίου
 
Άσκηση 1η
Να γίνουν οι πράξεις (1/4)+(1/5)+(1/6)=

Λύση
Ο μεγαλύτερος των παρονομαστών είναι ο 6
Βρίσκω το πολλαπλάσιο του 6 το οποίο διαιρείται από τους 4 και 5
Το πολλαπλάσιο αυτό είναι το 10.6 = 60  το οποίο  διαιρείται  από
τους 4 και 5
Μετατρέπω  τα κλάσματα σε ομώνυμα και προσθέτω
(15/60)+(12/60)+(10/60)=37/60

Άσκηση 1η
Να αποδείξετε ότι η διάμεσος ενός τριγώνου το χωρίζει σε δύο ισεμβαδικά τρίγωνα

Λύση

Έστω τυχαίο τρίγωνο ΑΒΓ. Φέρνουμε τη διάμεσο ΑΜ και το ύψος ΑΗ του τριγώνου ΑΒΓ
Θέλω να αποδείξω ότι (ΓΑΜ)=(ΒΑΜ)

Υπολογίζω καθένα από τα εμβαδά (ΓΑΜ) και (ΒΑΜ) χωριστά
(ΓΑΜ)= ΓΜ. ΑΗ / 2 και (ΒΑΜ)=ΒΜ. ΑΗ / 2

Γνωρίζω όμως ότι η ΑΜ είναι διάμεσος του τριγώνου ΑΒΓ που αυτό σημαίνει ότι ΓΜ=ΒΜ
Επομένως , σύμφωνα με τα παραπάνω ΓΜ. ΑΗ / 2 = ΒΜ. ΑΗ / 2

Άρα (ΓΑΜ)=(ΒΑΜ) , δηλαδή η διάμεσος ΑΜ χωρίζει το τρίγωνο ΑΒΓ 
σε δύο τρίγωνα ΓΑΜ και ΒΑΜ που έχουν ίσα εμβαδά

 

Advertisements