Τι είναι

fragment-of-blank-stationery-set-id-template-on-light-wooden-background-for-design-presentations-and-portfolios_1253-1517Ένα ιστολόγιο με τις βασικές έννοιες των μαθηματικών σε μορφή λυμένων ασκήσεων και ανάπτυξη της θεωρίας

 

Advertisements

Παραμετρικό σύστημα

Δίνεται το παρακάτω παραμετρικό σύστημα 2x2
(λ-1)x+y=0 
 x+(λ-1)y=0 
Να λυθεί για τις διάφορες πραγματικές τιμές του λ
Λύση
Υπολογίζω την ορίζουσα D
D=(λ-1)2-1 = (λ-1-1)(λ-1+1)=(λ-2)λ
Περιπτώσεις
Αν D διάφορο του μηδενός δηλαδή για λ διάφορο του 0 και του 2 , έχω μοναδική λύση
x=Dx / D , y=Dy / D
Υπολογίζω τις υποορίζουσες Dx , Dy
Dx= 0 και Dy=0επομένως x=0 και y=o
Eάν D=0 τότε έχω D=λ(λ-2)=0 -> λ=0 ή λ=2

Για  λ=0 το αρχικό σύστημα γίνεται
-x+y=0  (1)
x- y=0  (2)
Oι σχέσεις (1) και (2) είναι ισοδύναμες με την εξίσωση x-y=0
Λύνω τη παραπάνω εξίσωση ως προς x και έχω x=y όπου το y παίρνει τιμές σε όλο το R
Aυτό σημαίνει ότι για λ=0 το αρχικό σύστημα έχει άπειρες λύσεις της μορφής  x=y όπου το y παίρνει τιμές σε όλο το R

Για λ=2 το αρχικό σύστημα γίνεται
x+y=0   (3)
x+y=0  (4)

Oι σχέσεις (3) και (4) είναι ισοδύναμες με την εξίσωση x+y=0
Λύνω τη παραπάνω εξίσωση ως προς x και έχω x=-y όπου το y παίρνει τιμές σε όλο το R
Aυτό σημαίνει ότι για λ=2 το αρχικό σύστημα έχει άπειρες λύσεις της μορφής  x=-y 
όπου το y παίρνει τιμές σε όλο το R
Συνοψίζω
Για D διάφορο του μηδενός δηλαδή για λ διάφορο του 0 και του 2 η λύση του συστήματος 
είναι η μηδενική
Για D=0 δηλαδή για λ=0 ή λ=2  το αρχικό σύστημα έχει άπειρες λύσεις
Συγκεκριμένα
Για λ=0 το αρχικό σύστημα έχει άπειρες λύσεις της μορφής  x=y όπου το y παίρνει τιμές σε όλο το R
Για λ=2 το αρχικό σύστημα έχει άπειρες λύσεις της μορφής  x=-y όπου το y παίρνει τιμές σε όλο το R

 

 

Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο

 Να βρείτε τον φυσικό αριθμό α έτσι ώστε το ΕΚΠ[4,α]=52 
Λύση

Α΄Τρόπος

Οι αριθμοί 4 και α είναι διαιρέτες του ΕΚΠ τους δηλαδή του 52 και επιπλέον το ΕΚΠ 
αυτών δηλαδή το 52 είναι πολλαπλάσιο των αριθμών 4 και α
Διαιρώ το 52 με το 4 και έχω  52:4=13

Παρατηρώ ότι το 13 διαιρεί το ΕΚΠ δηλαδή το 52
Επομένως 52:13=4 και επιπλέον το ΕΚΠ δηλαδή το 52 είναι πολλαπλάσιο του 13 
εφόσον 13.4 =52

Συνεπώς ο ζητούμενος αριθμός α είναι το 13
 Άρα ΕΚΠ[4,α]=52 ισοδύναμα ΕΚΠ[4,13]=52
Β΄Τρόπος

Αναλύω το 52 σε παράγοντες διαιρώντας τον με τον μικρότερο διαιρέτη δηλαδή με το 2
52:2=26
26:2=13
13:13=1 ( To 13 είναι πρώτος αριθμός και διαιρείται μόνο με τον εαυτό του και τη μονάδα )
Επομένως το ΕΚΠ των αριθμών 2,2,13 είναι ίσο με 2.2.13=52 ισοδύναμα 4.13=52
Άρα το α ισούται με 13

Επομένως
ΕΚΠ[4,α]=52 ισοδύναμα ΕΚΠ[4,13]=52

 

Επίλυση Προβλήματος

Πόσοι ακέραιοι υπάρχουν μεταξύ 100 και 199 με διαφορετικά ψηφία

Λύση
Nα πάρουμε το πρόβλημα από την αρχή
Ζητώ τους ακεραίους που βρίσκονται ανάμεσα στο 100 και το 199 ο καθένας από τους οποίους εμφανίζει διαφορετικά ψηφία
Στη  δεκάδα από 100 έως 110
 
Εξαιρώ 2 ακεραίους οι οποίοι έχουν ίδια ψηφία δηλαδή το 101 και το 110
Επομένως απομένουν 8 ακέραιοι με διαφορετικά ψηφία

Η  δεκάδα από 110 έως 120 εξαιρείται όλη καθώς όλοι οι τριψήφιοι αριθμοί εμφανίζουν δύο όμοια ψηφία 110,111,112,...,119
Στη  δεκάδα από 120 έως 130 εξαιρούνται ομοίως 2 ακέραιοι οι 121 και 122 οπότε απομένουν 8 ακέραιοι με διαφορετικά ψηφία

Συνεχίζοντας την ίδια διαδικασία (αλγόριθμο)διαπιστώνω ότι σε κάθε νέα δεκάδα απομένουν 8 ακέραιοι με διαφορετικά ψηφία
Συνολικά από το 100 έως το 199 έχω αθροιστικά 10 δεκάδες
 
Εξαιρώ τη  κατά σειρά δεκάδα (εφόσον οι ακέραιοι εμφανίζουν δύο ίδια ψηφία)
Επομένως έχω 10-1=9 δεκάδες
( 9 δεκάδες ) x ( 8 ακέραιους)=72 ακέραιοι με διαφορετικά ψηφία

 

Απόλυτες τιμές

 

Να υπολογισθεί η παράσταση
A=|x-1|+ x+1
 Λύση
Υπολογίζω τις τιμές του  απολύτου
Διακρίνω τρείς περιπτώσεις (όσες και οι τιμές του απολύτου):
1η Aν x-1>0 ->x>1 τότε |x-1|=x-1
2η Aν x-1<0 ->x<1 τότε |x-1|=-x+1 3η Aν x-1=0 ->x=1 τότε |x-1|=0
Συνεπώς η παράσταση γράφεται :
 περίπτωση για x>1
Α=x-1+x+1=2x -> A=2x
 περίπτωση για x<1 Α=-x+1+x+1=2 -> A=2
 περίπτωση για x=1
Α=0+x+1=x+1 -> A=x+1

 

Περιττή συνάρτηση

 

Άσκηση 
Δίνεται η περιττή συνάρτηση f με πεδίο οριμού το [-α,α] η οποία είναι 1-1 και επί.
Να δειχθεί ότι :

1) Το πεδίο τιμών της f είναι συμμετρικό ως προς το μηδέν
2) Η αντίστροφη της f είναι περιττή
Λύση
1) Αν το x0 ανήκει στο διάστημα [-α,α] τότε και το -x0 ανήκει στο διάστημα [-α,α]

Το f(x0 ) ανήκει στο πεδίο τιμών της f καθώς και το f(-x0 )

Επειδή η f είναι περιττή έχω f(-x0 )=-f(x0 ) (Ι)

Όμως επειδή το f(-x0 ) ανήκει στο πεδίο τιμών της f δηλαδή στο f([-α,α])

λόγω της (Ι) και το -f(x0 ) ανήκει στο f([-α,α])
Επομένως για κάθε x0 που ανήκει στο διάστημα [-α,α] το f(x0 ) ανήκει στο f([-α,α]) 

Από τα παραπάνω συμπεραίνω ότι το πεδίο τιμών της f είναι συμμετρικό ως προς το μηδέν
2) Η f είναι 1-1 και επί επομένως ορίζεται η αντίστροφή της f-1
Aν y0 ανήκει στο πεδίο ορισμού της f-1 αρκεί να δείξω ότι f-1(y0)=- f-1(-y0) για κάθε y0 
που ανήκει στο πεδίο ορισμού της f-1 . To y0 ανήκει στο πεδίο τιμών της f

Έστω ότι για τυχαίο x0 που ανήκει στο [-α,α] το f(x0)=y0 ->f-1(y0)=x0 (Ι)

Aπό την υπόθεση γνωρίζω πως η f είναι περιττή

Επομένως f(x0)=-f(-x0)->y0=-f(-x0)->(-x0)=-y0->-x0=f-1(-y0)->x0=-f-1(-y0) (ΙΙ)

Επομένως η αντίστροφη της f είναι περιττή για κάθε y που ανήκει στο πεδίο
ορισμού της

 

Διαγώνισμα Λύκειο

 Ερώτηση (Α΄ Λυκείου)
Να λυθεί η εξίσωση |x-1|=|x+1|
Λύση
 |x-1|=|x+1|->x-1=x+1 (1)  ή x-1=-(x+1)  (2)
Από την (1) έχω x-x=1+1-.0.x=2 , αδύνατη
Από την (2) έχω x-1=-x-1->2x=-1+1->2x=0->x=0
 Ερώτηση (Β΄ Λυκείου)
Αν x,3,x-4 είναι τρεις διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου,να βρεθεί το x
Λύση
Αν α=x,β=3 και γ=x-4 ,γνωρίζω ότι β=(α+γ)/2  όπου  ο  β ονομάζεται αριθμητικός μέσος
Επομένως έχω 3=(x+x-4)/2->3=(2x-4)/2->6=2x-4->10=2x->x=5
 
3η Ερώτηση (Α΄ Λυκείου)
Να λυθεί η εξίσωση x2-8x+12=0
Λύση
 x2-8x+12=0->x2-6x-2x+6.2=0->x(x-6)-2(x-6)=0->(x-6)(x-2)=0
Iσοδύναμα  x=6 ή x=2
 
4η Ερώτηση (Γ΄ Λυκείου)
Αν η βαθμολογία 10 μαθητών σε ένα διαγώνισμα είναι 12,14,16,18,13,7,11,10,17,9
Να βρεθεί ο μέσος όρος της βαθμολογίας
Λύση
Αθροίζω τις 10 βαθμολογίες και διαιρώ με το πλήθος τους
Επομένως έχω (12+14+16+18+13+7+11+10+17+9) / 10 = 12,7
Παραμετρική εξίσωση (A΄Λυκείου)
Η εξίσωση λ2(x+1)-4x=0 ονομάζεται παραμετρική και εξετάζω τη λύση αυτής
ως προς τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού λ

 περίπτωση, για λ=0 έχω 0.(x+1)-4x=0->-4x=0->x=0

 περίπτωση, για λ διάφορο του μηδενός έχω 
λ2(x+1)-4x=0->λ2x+λ2-4x=0->x(λ2-4)+λ2=0->x(λ2-4)=-λ2 ισοδύναμα  x(λ-2)(λ+2)=-λ2
 
Περιπτώσεις 
Εάν α) λ διάφορο του 2,-2  λύνω την εξίσωση x(λ-2)(λ+2)=-λ2 
ως προς x και έχω  x=-λ2 / (λ-2)(λ+2)
Εάν β) λ=2 ή λ=-2  η εξίσωση x(λ-2)(λ+2)=-λ2 γίνεται x.0=-λ2->0.x=-4 αδύνατη
 
Επομένως
Εάν λ=0 τότε η λύση είναι x=0
Εάν λ διάφορο του 2 ή του -2 τότε η λύση είναι x=-λ2 / (λ-2)(λ+2)
Εάν λ=2 ή λ=-2 η εξίσωση λ2(x+1)-4x=0 είναι αδύνατη
Εξίσωση με απόλυτα (Α΄Λυκείου)
Να λυθεί η εξίσωση |x-1|=|x+1|

Λύση
|x-1|=|x+1|->x-1=x+1 (1) ή x-1=-(x+1) (2)
Από την (1) έχω x-x=1+1->0.x=2 , αδύνατη 
Από την (2) έχω  x-1=-x-1->2x=0->x=0
Πολυώνυμα (Β΄ Λυκείου)
Να βρείτε την τιμή του λ για την οποία το πολυώνυμο 
P(x)=(λ-1)x3 + ( λ2-1)x+(3λ-3)x-λ+1 είναι το μηδενικό πολυώνυμο

Λύση
Για να είναι το P(x) το μηδενικό πολυώνυμο πρέπει να υπάρχει τιμή του λ 
για την οποία οι συντελεστές όλων των όρων του P(x) είναι ίσοι με μηδέν. 

Επομένως πρέπει λ-1=0 ισοδύναμα λ=1
 λ2-1=0   ισοδύναμα  λ2=1ισοδύναμα λ=±1
 3λ-3=0  ισοδύναμα   λ=1      
 -λ+1=0  ισοδύναμα   λ=1       

 Άρα  για να είναι το πολυώνυμο  P(x)=(λ-1)x3 + (λ2 -1)x+(3λ-3)x-λ+1 μηδενικό πρέπει λ=1